Câu đố toán cho người lớn hay nhất không phải là bài khó tính, mà là bài phép tính rất dễ nhưng câu trả lời bật ra đầu tiên lại sai. Chiếc bút và cục tẩy, đàn bèo phủ kín ao, chuyến đi về với hai vận tốc khác nhau: ai cũng có ngay một con số trong đầu, và phần lớn con số ấy trật. Cái hay là sau khi xem lời giải, người ta thấy mình hiểu sâu hơn một chút về cách đầu óc tự lừa chính nó.
Mười hai câu dưới đây chia ba mức. Mức dễ gồm những câu kinh điển dùng trong nghiên cứu tâm lý về suy nghĩ vội. Mức vừa là phần trăm, vận tốc và tiền bạc. Mức khó là xác suất và hình học, nơi trực giác hụt hẫng nhiều nhất. Mọi con số tiền trong bài là số giả định để làm toán.
Mức dễ: những câu trả lời bật ra quá nhanh
Ba câu đầu nằm trong bộ câu hỏi mà nhà nghiên cứu Shane Frederick công bố năm 2005, gọi là bài kiểm tra phản tư nhận thức. Câu hỏi được viết lại theo bối cảnh Việt Nam. Đọc xong mỗi câu, ghi ngay con số đầu tiên hiện ra, rồi mới tính lại.
Câu 1 (mức dễ)
Một chiếc bút và một cục tẩy giá tổng cộng 11 nghìn đồng. Chiếc bút đắt hơn cục tẩy đúng 10 nghìn. Cục tẩy giá bao nhiêu?
Gợi ý: Nếu tẩy giá 1 nghìn thì bút giá bao nhiêu, và tổng là bao nhiêu?
Câu 2 (mức dễ)
Năm chiếc máy làm 5 sản phẩm trong 5 phút. Vậy 100 chiếc máy làm 100 sản phẩm mất bao lâu?
Gợi ý: Một chiếc máy làm một sản phẩm mất bao lâu?
Câu 3 (mức dễ)
Trên mặt ao có một đám bèo, mỗi ngày diện tích bèo tăng gấp đôi. Sau 48 ngày bèo phủ kín ao. Sau bao nhiêu ngày bèo phủ được nửa ao?
Gợi ý: Đi ngược lại một ngày từ lúc kín ao.
Câu 4 (mức dễ)
Đồng hồ kim chỉ 3 giờ 15 phút. Kim giờ và kim phút tạo với nhau một góc bao nhiêu độ?
Gợi ý: Lúc 3 giờ 15, kim giờ có còn nằm đúng trên số 3 không?
Mức vừa: phần trăm, vận tốc và tiền bạc
Bốn câu này động tới những phép tính người lớn làm mỗi ngày: giảm giá, tốc độ chạy xe, chia tiền. Lỗi hay gặp là cộng trừ những thứ không cộng trừ được với nhau.
Câu 5 (mức vừa)
Anh Nam lái xe từ nhà về quê với vận tốc 60 km/h, rồi quay lại trên đúng con đường ấy với vận tốc 40 km/h. Vận tốc trung bình cả đi lẫn về là bao nhiêu?
Gợi ý: Chọn một quãng đường cụ thể, ví dụ 120 km, rồi tính thời gian.
Câu 6 (mức vừa)
Một chiếc áo giá 100 nghìn được giảm 20%. Tuần sau cửa hàng tăng giá lên 20% so với giá đang bán. Giá cuối cùng là bao nhiêu?
Gợi ý: Hai lần 20% có tính trên cùng một số không?
Câu 7 (mức vừa)
Ba bạn góp mỗi người 10 nghìn, tổng 30 nghìn trả tiền ăn. Chủ quán bớt 5 nghìn, nhờ em phục vụ mang trả lại. Năm nghìn khó chia ba nên các bạn bảo em giữ 2 nghìn làm tiền bo, mỗi người nhận lại 1 nghìn. Vậy mỗi người trả 9 nghìn, ba người là 27 nghìn, cộng 2 nghìn em giữ là 29 nghìn. Một nghìn còn lại đi đâu?
Gợi ý: Số 27 nghìn đã gồm những khoản nào?
Câu 8 (mức vừa)
Mang 100 kg dưa chuột ra phơi, lúc đầu nước chiếm 99% khối lượng. Phơi một thời gian, nước chỉ còn chiếm 98%. Số dưa lúc này nặng bao nhiêu?
Gợi ý: Phần không phải nước có thay đổi không?
Mức khó: xác suất, hình học và chiếc cân đĩa
Bốn câu cuối thuộc loại khiến cả người học toán cũng phải tính lại. Câu ba hộp quà từng làm nổ ra một cuộc tranh luận dài trên báo chí Mỹ đầu những năm 1990.
Câu 9 (mức khó)
Một lớp học có 23 người. Khả năng có ít nhất hai người trùng ngày sinh nhật (cùng ngày, cùng tháng) là lớn hơn hay nhỏ hơn một nửa?
Gợi ý: Tính khả năng không ai trùng ai, rồi lấy phần bù.
Câu 10 (mức khó)
Trò chơi ở tiệc: có ba hộp, một hộp có quà. Bạn chọn một hộp. Người dẫn biết quà ở đâu, luôn mở một trong hai hộp còn lại mà chắc chắn rỗng, rồi hỏi bạn có muốn đổi sang hộp chưa mở kia không. Nên đổi hay giữ?
Gợi ý: Lúc chọn lần đầu, khả năng bạn chọn trúng là bao nhiêu? Người dẫn mở hộp có làm thay đổi điều đó không?
Câu 11 (mức khó)
Giả sử quấn một sợi dây sát quanh đường xích đạo Trái Đất. Nối dài sợi dây thêm đúng 1 m rồi nâng đều lên cho cách mặt đất ở mọi chỗ như nhau. Khe hở cao chừng nào: lọt sợi tóc, lọt con kiến hay lọt con mèo?
Gợi ý: Chu vi đường tròn bằng 2π nhân bán kính. Thêm 1 m chu vi thì bán kính tăng bao nhiêu?
Câu 12 (mức khó)
Có 8 viên bi trông giống hệt nhau, trong đó một viên nặng hơn một chút. Dùng chiếc cân đĩa (chỉ so nặng nhẹ, không có quả cân), chỉ được cân hai lần. Làm sao tìm ra viên nặng?
Gợi ý: Không nhất thiết chia đôi. Chia làm ba nhóm.
Lời giải cả 12 câu
Lời giải kèm theo lý do vì sao câu trả lời "bật ra" thường sai, vì phần đó mới là phần đáng nhớ.
Câu 1: Cục tẩy giá 500 đồng
- Gọi giá tẩy là x. Bút giá x + 10 nghìn. Tổng: x + x + 10 = 11, nên 2x = 1, x = 0,5 nghìn, tức 500 đồng.
- Kiểm: bút 10.500 đồng, tẩy 500 đồng, tổng 11.000, chênh 10.000. Đúng.
- Câu trả lời bật ra "1 nghìn" sai vì khi đó bút giá 11 nghìn, tổng thành 12 nghìn. Trong nghiên cứu gốc, một tỉ lệ lớn sinh viên đại học danh tiếng cũng trả lời sai câu này.
Câu 2: 5 phút
- Năm máy làm 5 sản phẩm trong 5 phút nghĩa là mỗi máy làm 1 sản phẩm trong 5 phút.
- 100 máy chạy cùng lúc, mỗi máy làm 1 sản phẩm, vẫn mất 5 phút.
- Đáp án "100 phút" đến từ thói quen thấy ba số giống nhau thì đổi cả ba. Câu này nhắc rằng tăng người và tăng việc cùng tỉ lệ thì thời gian không đổi.
Câu 3: 47 ngày
- Ngày 48 bèo phủ kín ao. Ngày trước đó, bèo bằng một nửa.
- Vậy ngày 47 bèo phủ nửa ao.
- Trả lời "24 ngày" là nghĩ theo tăng đều, trong khi bèo tăng gấp đôi. Đây là lý do những thứ tăng theo cấp số nhân trông như không có gì đáng lo cho tới vài bước cuối.
Câu 4: 7,5 độ
- Kim phút chỉ số 3, tức 90 độ tính từ số 12.
- Kim giờ đi 30 độ mỗi giờ, tức 0,5 độ mỗi phút. Sau 15 phút, kim giờ đã rời số 3 thêm 7,5 độ, nằm ở 97,5 độ.
- Góc giữa hai kim: 97,5 − 90 = 7,5 độ. Ai trả lời "0 độ" là quên rằng kim giờ cũng chạy.
Câu 5: 48 km/h, không phải 50 km/h
- Giả sử quãng đường 120 km. Đi mất 120 : 60 = 2 giờ, về mất 120 : 40 = 3 giờ.
- Tổng quãng đường 240 km trong 5 giờ: 240 : 5 = 48 km/h.
- Lấy trung bình 60 và 40 ra 50 là sai, vì chiều về chậm hơn nên chiếm nhiều thời gian hơn. Công thức gọn: 2 × 60 × 40 : (60 + 40) = 48, gọi là trung bình điều hoà.
Câu 6: 96 nghìn đồng
- Giảm 20% của 100 nghìn: còn 80 nghìn.
- Tăng 20% của 80 nghìn là 16 nghìn: thành 96 nghìn.
- Giảm rồi tăng cùng một tỉ lệ luôn cho kết quả thấp hơn giá ban đầu, vì lần tăng tính trên một số đã nhỏ đi. Tổng quát: nhân 0,8 rồi nhân 1,2 bằng nhân 0,96.
Câu 7: Không mất nghìn nào, phép cộng 27 + 2 là sai cách
- Ba bạn trả tổng 27 nghìn. Số tiền này chia ra: 25 nghìn ở quầy chủ quán và 2 nghìn trong túi em phục vụ.
- Vậy 2 nghìn đã nằm sẵn trong 27 nghìn. Cộng thêm 2 nữa là đếm hai lần.
- Cách tính đúng: 27 − 2 = 25 nghìn là tiền quán thực nhận; hoặc 27 + 3 nghìn đã trả lại = 30 nghìn ban đầu. Câu đố đánh lừa bằng cách đặt một phép cộng nghe có lý vào chỗ không nên cộng.
Câu 8: 50 kg
- Phần "khô" (không phải nước) lúc đầu là 1% của 100 kg, tức 1 kg. Phơi nắng chỉ làm bay nước, phần khô vẫn 1 kg.
- Lúc sau phần khô chiếm 2%, nên tổng khối lượng là 1 : 0,02 = 50 kg.
- Nước giảm từ 99% xuống 98% nghe rất ít, nhưng phần khô từ 1% thành 2% là gấp đôi, nên tổng khối lượng phải giảm còn một nửa.
Câu 9: Lớn hơn một nửa, khoảng 50,7%
- Bỏ qua ngày 29 tháng 2 và coi mọi ngày đều có khả năng như nhau.
- Khả năng 23 người đều khác ngày sinh: người thứ hai tránh người thứ nhất (364/365), người thứ ba tránh hai người (363/365)… cho tới người thứ 23 (343/365). Nhân lại được khoảng 0,493.
- Khả năng có ít nhất một cặp trùng: 1 − 0,493 ≈ 0,507, tức hơn một nửa.
- Trực giác sai vì ta nghĩ tới "có ai trùng ngày với mình không", trong khi câu hỏi là bất kỳ cặp nào. Với 23 người có tới 253 cặp, nên trùng là chuyện dễ xảy ra.
Câu 10: Nên đổi: khả năng trúng tăng từ 1/3 lên 2/3
- Lần chọn đầu trúng quà với khả năng 1/3, trật với khả năng 2/3.
- Nếu ban đầu chọn trật (2/3), quà nằm ở một trong hai hộp còn lại; người dẫn buộc phải mở hộp rỗng, nên hộp chưa mở kia chắc chắn có quà. Đổi là trúng.
- Nếu ban đầu chọn trúng (1/3), đổi là trật.
- Vậy chiến lược đổi trúng với khả năng 2/3. Điều kiện quan trọng: người dẫn biết quà ở đâu và luôn mở hộp rỗng. Nếu người dẫn mở bừa và tình cờ ra hộp rỗng, khả năng mới là một nửa. Câu này được biết với tên bài toán Monty Hall, nổi tiếng sau khi Marilyn vos Savant giải trên tạp chí Parade năm 1990.
Câu 11: Khoảng 16 cm, đủ cho một con mèo con lách qua
- Chu vi C = 2πr. Chu vi tăng thêm 1 m thì bán kính tăng 1 : (2π) m.
- 1 : (2 × 3,14) ≈ 0,159 m, tức khoảng 16 cm.
- Điều bất ngờ là kết quả không phụ thuộc kích thước Trái Đất: quấn quanh quả bóng hay quanh hành tinh, thêm 1 m dây đều nâng lên chừng 16 cm. Trực giác bị con số khổng lồ 40 nghìn km đánh lừa.
Câu 12: Chia 3 – 3 – 2
- Lần cân thứ nhất: đặt 3 viên mỗi bên. Nếu lệch, viên nặng nằm trong ba viên ở đĩa nặng hơn. Nếu thăng bằng, viên nặng nằm trong hai viên chưa cân.
- Trường hợp còn ba viên: cân hai viên bất kỳ. Lệch thì viên ở đĩa nặng là viên cần tìm; thăng bằng thì là viên thứ ba.
- Trường hợp còn hai viên: cân hai viên đó với nhau, đĩa nào nặng là viên cần tìm.
- Mỗi lần cân có ba kết quả (lệch trái, lệch phải, thăng bằng), nên hai lần cân phân biệt được tới 3 × 3 = 9 khả năng. Với 9 viên vẫn làm được bằng cách chia 3 – 3 – 3.
Vì sao người giỏi vẫn trả lời sai những câu này
Các nhà tâm lý học thường mô tả hai kiểu suy nghĩ: một kiểu nhanh, tự động, dựa vào cảm giác quen thuộc; một kiểu chậm, tốn sức, chịu tính toán từng bước. Daniel Kahneman phổ biến cách nói này trong cuốn sách "Tư duy nhanh và chậm" (2011). Câu bút và tẩy đánh đúng vào kiểu nhanh: hai con số 11 và 10 đặt cạnh nhau, đầu óc lập tức trừ ra 1 mà không kiểm lại.
Điều đáng chú ý là trả lời sai những câu này không có nghĩa là kém toán. Phép tính chỉ là cộng trừ nhân chia. Cái thiếu là một nhịp dừng để tự hỏi "con số này có khớp với đề không". Người quen kiểm lại, chẳng hạn kế toán đối chiếu sổ hay kỹ sư thử lại kết quả, thường trả lời đúng nhiều hơn, dù không hẳn giỏi toán hơn.
Các câu xác suất và hình học ở mức khó thì sai vì lý do khác: trực giác con người không được rèn để cảm nhận số cặp tăng nhanh thế nào khi số người tăng, hay để thấy rằng chu vi và bán kính tăng theo tỉ lệ cố định bất kể vật to nhỏ. Với những câu này, chỉ có phép tính mới đáng tin.
Đem các câu này ra đố trong bữa tiệc, buổi họp nhóm
Ba câu mức dễ là mở màn tốt nhất cho một buổi gặp mặt: đọc to, cho mọi người ghi đáp án ra giấy cùng lúc, rồi mới công bố. Nếu để từng người nói lần lượt, người sau sẽ nghe người trước và đổi ý, mất cái vui. Sau khi công bố, mời một người trả lời đúng giải thích cho cả nhóm, thay vì người đố tự giảng.
Câu ba hộp quà nên diễn thật bằng ba chiếc cốc úp và một viên kẹo. Cho mọi người chơi khoảng hai mươi lượt, ghi lại số lần thắng khi đổi và khi giữ. Gần như lần nào số liệu cũng nghiêng về phía đổi, và chính con số tự đếm được thuyết phục hơn mọi lời giải thích.
Câu nghìn đồng biến mất hợp để kết buổi, vì nghe xong ai cũng lẩm bẩm tính lại trên đường về. Lưu ý khi kể: nói chậm phần "27 cộng 2", đó là chỗ câu đố đánh lừa, và đừng nhấn giọng vào nó kẻo lộ bài.
Câu hỏi thường gặp
Bài kiểm tra phản tư nhận thức có phải là bài đo trí thông minh không?
Không. Bộ ba câu hỏi của Shane Frederick dùng trong nghiên cứu để xem người ta có xu hướng dừng lại kiểm tra câu trả lời đầu tiên hay không. Nó không phải bài đo trí thông minh, và vì đã quá nổi tiếng nên nhiều người biết trước đáp án, làm kết quả không còn ý nghĩa.
Câu ba hộp quà có đúng nếu người dẫn không biết quà ở đâu không?
Không còn đúng. Nếu người dẫn mở ngẫu nhiên một trong hai hộp còn lại và tình cờ hộp đó rỗng, khả năng trúng khi đổi và khi giữ đều là một nửa. Lợi thế của việc đổi đến từ chỗ người dẫn dùng thông tin mình biết để luôn tránh hộp có quà.
Vì sao vận tốc trung bình không phải trung bình cộng hai vận tốc?
Vì xe chạy ở mỗi vận tốc trong những khoảng thời gian khác nhau. Chiều chậm kéo dài hơn nên ảnh hưởng nhiều hơn tới kết quả chung. Trung bình cộng chỉ đúng khi thời gian chạy ở hai vận tốc bằng nhau, không phải khi quãng đường bằng nhau.
Nghịch lý ngày sinh nhật có áp dụng được ngoài đời không?
Có. Ý tưởng "số cặp tăng rất nhanh" được dùng trong tin học để ước lượng khả năng hai dữ liệu khác nhau cho ra cùng một mã rút gọn, và trong thống kê để giải thích vì sao những sự trùng hợp nghe kỳ lạ thật ra khá thường gặp khi có nhiều người tham gia.
Làm sao rèn thói quen không trả lời vội?
Một thói quen đơn giản là luôn thay đáp án vừa nghĩ ra vào lại đề bài để kiểm. Với câu bút và tẩy, thử ngay "tẩy 1 nghìn thì bút 11 nghìn, tổng 12 nghìn" là thấy sai. Thói quen này tốn vài giây nhưng giúp tránh được phần lớn lỗi kiểu này.