Câu đố qua sông là loại đố cho một nhóm người, vật cần sang bờ bên kia bằng con thuyền chở được rất ít, kèm vài luật cấm (ai không được ở cạnh ai, thuyền chịu bao nhiêu cân) và hỏi cách sang hết với ít chuyến nhất. Bài nổi tiếng nhất là người nông dân chở sói, dê và bắp cải, có mặt trong các tập đố của châu Âu từ thời Trung cổ. Mẹo chung để giải: nhận ra rằng đôi khi phải chở một thứ quay về, điều mà hầu như ai mới nghe cũng không nghĩ tới.
Dưới đây là chín bài chia ba mức. Mức dễ là bài kinh điển và hai biến thể "đổi luật một chút". Mức vừa là bài cân nặng và hai bài qua cầu ban đêm với một chiếc đèn pin. Mức khó là bài cô giáo dẫn học trò và bài nhiều người lớn hai trẻ nhỏ. Mọi lời giải đều đã được kiểm lại bằng máy tính, thử hết các cách chở để chắc số chuyến là ít nhất.
Mức dễ: bài kinh điển và hai lần đổi luật
Ba bài đầu cho thấy cùng một khung chuyện, chỉ thay một điều kiện là lời giải đổi hẳn. Đọc kỹ thuyền chở được bao nhiêu và ai cấm ở cạnh ai trước khi bắt tay vào.
Câu 1 (mức dễ)
Bác nông dân cần đưa một con sói, một con dê và một bắp cải qua sông. Thuyền chỉ chở được bác và thêm một thứ. Để sói với dê ở riêng thì sói ăn dê, để dê với bắp cải ở riêng thì dê ăn bắp cải. Bác sang sông thế nào?
Gợi ý: Thứ nguy hiểm nhất là con dê, vì nó dính vào cả hai luật cấm.
Câu 2 (mức dễ)
Hai người đến bến sông cùng lúc, chỉ có một chiếc thuyền nhỏ chở được một người. Cuối cùng cả hai đều sang được bờ bên kia mà không ai phải bơi, không ai mang thuyền về. Vì sao?
Gợi ý: Đề không nói hai người đứng cùng một bờ.
Câu 3 (mức dễ)
Vẫn sói, dê, bắp cải, nhưng thuyền to hơn: chở được bác nông dân và hai thứ. Ít nhất bao nhiêu chuyến?
Gợi ý: Chọn hai thứ không ăn nhau để đi chuyến đầu.
Mức vừa: cân nặng và chiếc đèn pin
Ba bài này chuyển từ "ai không được ở cạnh ai" sang tính toán: tổng cân nặng trên thuyền, tổng thời gian qua cầu. Lỗi hay gặp nhất là để người khỏe nhất, nhanh nhất làm hết mọi chuyến đưa đón.
Câu 4 (mức vừa)
Gia đình bốn người: bố nặng 70 kg, mẹ 60 kg, hai con mỗi bạn 40 kg (số giả định). Thuyền chở tối đa 100 kg, ai cũng chèo được, mỗi chuyến phải có người chèo. Cả nhà sang sông thế nào?
Gợi ý: Bố không thể đi chung với ai. Hai bạn nhỏ thì đi chung được.
Câu 5 (mức vừa)
Bốn bạn phải qua một cây cầu hẹp lúc trời tối. Cầu chỉ chịu hai người một lúc, và phải có đèn pin mới đi được; nhóm chỉ có một đèn. Đi một mình, các bạn mất lần lượt 1, 2, 5 và 10 phút. Hai người đi cùng thì đi theo tốc độ người chậm hơn. Nhanh nhất bao nhiêu phút cả nhóm qua hết?
Gợi ý: Đừng để hai người chậm nhất đi riêng hai lượt.
Câu 6 (mức vừa)
Năm bạn qua cầu, đi một mình mất 1, 3, 6, 8 và 12 phút; luật như câu trước, đèn pin chỉ còn pin cho 30 phút. Có kịp không, và cách nào?
Gợi ý: Kết hợp cả hai kiểu: bạn nhanh nhất đưa một người, và hai người chậm nhất đi chung.
Mức khó: cô trò sang sông và đoàn người lớn với hai bạn nhỏ
Hai bài cuối dài hơn, nhiều chuyến, nên rất dễ đi lòng vòng. Cách gỡ là ghi trạng thái hai bờ sau mỗi chuyến dưới dạng con số (ví dụ "bờ cũ: 3 cô, 1 trò; thuyền ở bờ mới") và không bao giờ quay lại một trạng thái đã gặp.
Câu 7 (mức khó)
Ba cô giáo dẫn ba học trò hiếu động qua sông. Thuyền chở tối đa hai người, ai cũng chèo được. Ở bất kỳ bờ nào, hễ có cô giáo thì số học trò không được nhiều hơn số cô (đông hơn là các cô trông không xuể). Bờ nào chỉ toàn học trò thì không sao. Sang sông thế nào?
Gợi ý: Cho học trò sang trước để làm người chèo đưa đón.
Câu 8 (mức khó)
Năm người lớn và hai bạn nhỏ cần qua sông. Thuyền chở được một người lớn, hoặc hai bạn nhỏ, hoặc một bạn nhỏ; không chở được người lớn đi cùng trẻ. Ai cũng chèo được. Bao nhiêu chuyến?
Gợi ý: Tính xem đưa được một người lớn sang thì tốn mấy chuyến, rồi nhân lên.
Lời giải từng chuyến cả 9 bài
Mỗi bước dưới đây là một lượt thuyền (hoặc một lượt qua cầu). Muốn kiểm, hãy vẽ hai cột "bờ cũ" và "bờ mới" rồi chuyển tên từng người theo lời giải.
Câu 1: Bảy chuyến, mấu chốt là chở dê quay về
- Chở dê sang. Bờ cũ còn sói và bắp cải, không sao.
- Bác về một mình.
- Chở sói sang. Bờ mới có sói và dê, nên không thể để đó.
- Chở dê quay về bờ cũ. Đây là chuyến mà đa số người đoán bỏ sót.
- Chở bắp cải sang, để cạnh sói. Sói không ăn bắp cải.
- Bác về một mình.
- Chở dê sang lần cuối. Cách đối xứng (chở bắp cải trước sói) cũng đúng, cũng bảy chuyến.
Câu 2: Họ đứng ở hai bờ khác nhau
Người ở bờ có thuyền chèo sang, rồi người ở bờ kia dùng chính chiếc thuyền ấy chèo về phía bên này. Mỗi người đều "sang bờ bên kia" của mình. Câu này là câu khởi động mẹo, lưu ý người giải rằng câu đố qua sông hay gài giả định ngầm, và phải đọc kỹ đề như đọc hợp đồng.
Câu 3: Ba chuyến
- Chở sói và bắp cải sang (hai thứ này để cạnh nhau không sao). Bờ cũ chỉ còn dê.
- Bác về một mình.
- Chở dê sang. Vì bác có mặt nên dê không làm gì được bắp cải và sói cũng không đụng tới dê.
- Chỉ cần thuyền chở thêm một chỗ, số chuyến giảm từ bảy xuống ba. Người làm kế hoạch hay gặp đúng chuyện này: nới một nút thắt duy nhất là cả quy trình gọn lại.
Câu 4: Bảy chuyến, hai bạn nhỏ làm người đưa thuyền
- Hai con sang (80 kg).
- Một con chèo về.
- Bố sang một mình (70 kg).
- Con còn ở bờ mới chèo về.
- Hai con sang.
- Một con chèo về.
- Mẹ và con sang (100 kg, vừa đúng mức). Máy thử hết mọi cách cũng không tìm được cách nào dưới bảy chuyến. Lưu ý mẹ và bố không đi chung được (130 kg), bố và một con cũng không (110 kg).
Câu 5: 17 phút
- Bạn 1 phút và bạn 2 phút qua: 2 phút.
- Bạn 1 phút mang đèn về: 1 phút (đã 3 phút).
- Bạn 5 phút và bạn 10 phút qua cùng nhau: 10 phút (đã 13 phút).
- Bạn 2 phút mang đèn về: 2 phút (đã 15 phút).
- Bạn 1 phút và bạn 2 phút qua: 2 phút. Tổng 17 phút.
- Cách "bạn nhanh nhất đưa từng người" cho 10 + 1 + 5 + 1 + 2 = 19 phút. Chênh hai phút vì cách tối ưu ghép hai người chậm nhất đi chung, chỉ "trả giá" bạn chậm nhất một lần.
Câu 6: Kịp, hết 29 phút
- Bạn 1 và bạn 3 qua: 3 phút.
- Bạn 1 về: 1 phút (4 phút).
- Bạn 1 và bạn 6 qua: 6 phút (10 phút).
- Bạn 1 về: 1 phút (11 phút).
- Bạn 8 và bạn 12 qua cùng nhau: 12 phút (23 phút).
- Bạn 3 về: 3 phút (26 phút).
- Bạn 1 và bạn 3 qua: 3 phút. Tổng 29 phút. Máy thử hết mọi cách cho thấy 29 là ít nhất; không có cách nào dưới mức này.
Câu 7: Mười một chuyến
- Hai trò sang. Bờ cũ: 3 cô, 1 trò.
- Một trò về. Bờ cũ: 3 cô, 2 trò.
- Hai trò sang. Bờ mới có 3 trò, không có cô, không sao.
- Một trò về. Bờ cũ: 3 cô, 1 trò; bờ mới: 2 trò.
- Hai cô sang. Bờ mới: 2 cô, 2 trò; bờ cũ: 1 cô, 1 trò.
- Một cô và một trò về. Bờ cũ: 2 cô, 2 trò; bờ mới: 1 cô, 1 trò.
- Hai cô sang. Bờ mới: 3 cô, 1 trò; bờ cũ chỉ còn 2 trò.
- Một trò về. Bờ cũ: 3 trò.
- Hai trò sang. Bờ mới: 3 cô, 3 trò; bờ cũ còn 1 trò.
- Một trò về đón bạn.
- Hai trò sang. Xong. Chuyến thứ sáu, một cô một trò quay về, là chỗ người giải hay bế tắc; máy thử hết cũng xác nhận mười một là ít nhất.
Câu 8: 21 chuyến
- Đưa một người lớn sang là một vòng bốn chuyến: hai bạn nhỏ sang; một bạn chèo về; người lớn sang; bạn nhỏ ở bờ mới chèo về.
- Sau mỗi vòng, hai bạn nhỏ lại cùng ở bờ cũ với thuyền, còn số người lớn ở bờ cũ giảm một.
- Năm người lớn tốn 5 × 4 = 20 chuyến. Cuối cùng hai bạn nhỏ cùng sang: thêm 1 chuyến. Tổng 21.
- Công thức chung với n người lớn là 4n + 1 chuyến. Bài này giống bài gia đình nặng ký ở chỗ người nhỏ con nhất lại là người làm việc nhiều nhất.
Vì sao câu đố qua sông khó hơn vẻ ngoài
Câu đố qua sông đánh vào một thói quen rất người: ai cũng muốn mỗi bước đều "tiến lên". Chở dê quay về bờ cũ trông như đi lùi, nên đầu óc tự gạt phương án đó đi trước khi kịp xét. Thực ra trong nhiều bài, lùi một bước là cách duy nhất để thoát thế kẹt. Các nhà tâm lý học nghiên cứu giải quyết vấn đề từng dùng chính bài cô trò sang sông (bản gốc tiếng Anh có tên khác) để quan sát người ta mắc kẹt ở đâu, và chỗ kẹt phổ biến đúng là chuyến phải đưa người quay ngược.
Điểm khó thứ hai là số trạng thái lớn hơn ta tưởng. Bài cô trò có chừng mười mấy trạng thái hợp lệ, nhưng mỗi trạng thái lại có vài cách đi tiếp, nên người giải dễ đi vòng tròn mà không biết. Cách chữa là đánh số trạng thái và ghi lại; gặp lại trạng thái cũ thì biết mình đang lặp. Đó cũng là cách máy tính giải những bài này: duyệt theo chiều rộng, mỗi trạng thái chỉ thăm một lần, nên luôn tìm ra lời giải ngắn nhất.
Bài qua cầu ban đêm thì khó theo kiểu khác: trực giác bảo để người nhanh nhất làm "tài xế" đưa từng người, nhưng như đã thấy, cách đó chậm hơn. Mấu chốt là giảm số lần người chậm nhất phải xuất hiện trên cầu. Bài học này áp dụng được cả ngoài câu đố, chẳng hạn khi xếp việc cho một nhóm: gom những việc chậm nhất chạy song song với nhau thay vì để chúng nối đuôi.
Đố câu qua sông cho vui: vẽ, xếp đồ vật hay đóng vai
Câu qua sông là câu hợp nhất để giải bằng tay chứ không chỉ bằng đầu. Ở nhà, lấy vài đồ vật nhỏ làm nhân vật, chẳng hạn hạt đậu đỏ làm học trò, hạt đậu xanh làm cô giáo, một chiếc nắp chai làm thuyền, hai chiếc khăn làm hai bờ sông. Trẻ nhỏ xếp tới xếp lui sẽ tự phát hiện ra luật "có lúc phải chở về" mà không cần ai giảng.
Ở lớp học hay buổi sinh hoạt tập thể, có thể cho cả nhóm đóng vai thật: dán băng dính làm hai bờ, một chiếc ghế làm thuyền, các bạn tự đi lại theo luật. Bài qua cầu đèn pin rất hợp vì mỗi bạn được giao một "tốc độ", và cả nhóm phải bàn với nhau để tìm cách ít phút nhất. Người dẫn chỉ cần bấm giờ và ghi tổng.
Với người lớn, bài sói dê bắp cải đã quá quen, nên đố bài gia đình nặng ký hoặc bài năm người qua cầu sẽ thú vị hơn. Một mẹo nhỏ khi đố: nói rõ luật trước, viết số liệu ra giấy cho mọi người cùng nhìn, vì phần lớn câu trả lời sai đến từ việc nhớ nhầm đề chứ không phải nghĩ sai.
Câu hỏi thường gặp
Bài sói, dê, bắp cải có mấy lời giải?
Có hai lời giải cùng bảy chuyến, đối xứng nhau. Sau khi chở dê sang và quay về, bác nông dân có thể chở sói hoặc chở bắp cải sang trước, rồi mang dê về, chở thứ còn lại sang, quay về và đón dê. Không có cách nào ít hơn bảy chuyến với thuyền chỉ chở thêm một thứ.
Vì sao bài qua cầu đèn pin không phải 19 phút?
Cách 19 phút để bạn nhanh nhất đưa từng người, nên hai bạn chậm nhất mỗi người tốn một lượt riêng: 5 phút và 10 phút. Cách 17 phút cho hai bạn chậm nhất đi chung, chỉ mất 10 phút cho cả hai, đổi lại bạn 2 phút phải mang đèn về một lần. Phần tiết kiệm lớn hơn phần phải trả.
Có công thức chung cho bài qua cầu với nhiều người không?
Có một quy tắc quen biết: ở mỗi bước, so sánh hai cách đưa hai người chậm nhất sang. Cách một là người nhanh nhất đưa từng người. Cách hai là hai người nhanh nhất qua trước, người nhanh nhất về, hai người chậm nhất qua chung, người nhanh thứ nhì về. Chọn cách ít phút hơn rồi lặp lại cho nhóm còn lại.
Câu đố qua sông có giúp gì cho việc học toán không?
Có, theo nghĩa rèn cách nghĩ hơn là kiến thức. Người giải phải biểu diễn tình huống bằng các trạng thái, kiểm tra điều kiện ở từng bước, và nhận ra khi nào mình lặp lại. Đây là nền móng của tư duy thuật toán, thứ học sinh sẽ gặp lại khi học lập trình hoặc giải các bài toán đếm.
Làm sao biết mình đã tìm ra cách ít chuyến nhất?
Làm tay thì khó chắc chắn. Cách đáng tin là liệt kê mọi trạng thái hợp lệ rồi duyệt lần lượt theo số chuyến tăng dần, trạng thái nào gặp rồi thì bỏ. Lần đầu chạm tới trạng thái "tất cả đã sang" chính là lời giải ngắn nhất. Các lời giải trong bài đều được kiểm theo cách này.