Câu đố quy luật dãy số cho vài số đầu của một dãy và hỏi số tiếp theo là gì; muốn giải, cần đoán ra cách các số được tạo ra từ nhau. Quy luật có thể là cộng một số cố định, nhân đôi, bình phương, cộng hai số liền trước, hay xen kẽ hai dãy. Người giải giỏi không đoán bừa mà thử theo một thứ tự nhất định: hiệu, tỉ số, lũy thừa, xen kẽ, rồi mới tới chữ số.
Mười lăm dãy dưới đây đi từ dễ đến khó. Một điều cần biết trước: về mặt toán học, một dãy hữu hạn số có thể được nối tiếp theo vô số cách. Câu đố dãy số thực chất hỏi "quy luật đơn giản, tự nhiên nhất là gì", nên đáp án ở đây là đáp án mà đa số người giải công nhận, kèm giải thích để kiểm.
Mức dễ: cộng, nhân, bình phương
Năm dãy đầu chỉ cần một phép tính lặp lại. Mẹo: viết hiệu giữa hai số liền nhau ngay bên dưới dãy, quy luật thường hiện ra từ hàng hiệu.
Câu 1 (mức dễ)
Điền số tiếp theo: 2, 5, 8, 11, …
Gợi ý: Hai số liền nhau hơn kém nhau bao nhiêu?
Câu 2 (mức dễ)
Điền số tiếp theo: 3, 6, 12, 24, …
Gợi ý: Hiệu tăng dần, thử chia số sau cho số trước.
Câu 3 (mức dễ)
Điền số tiếp theo: 1, 4, 9, 16, 25, …
Gợi ý: Đây là những con số rất quen trong bảng cửu chương.
Câu 4 (mức dễ)
Điền số tiếp theo: 20, 18, 15, 11, …
Gợi ý: Số bị trừ đi mỗi lần có giống nhau không?
Câu 5 (mức dễ)
Điền số tiếp theo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
Gợi ý: Nhìn ba số liền nhau một lúc.
Mức vừa: tích, giai thừa, xen kẽ và số nguyên tố
Năm dãy này cần thêm một bước: nhìn hàng hiệu của hàng hiệu, hoặc tách dãy thành hai dãy con, hoặc nhận ra một họ số đặc biệt.
Câu 6 (mức vừa)
Điền số tiếp theo: 2, 6, 12, 20, 30, …
Gợi ý: Hàng hiệu là 4, 6, 8, 10.
Câu 7 (mức vừa)
Điền số tiếp theo: 1, 2, 6, 24, 120, …
Gợi ý: Chia số sau cho số trước: 2, 3, 4, 5.
Câu 8 (mức vừa)
Điền số tiếp theo: 3, 5, 9, 17, 33, …
Gợi ý: Hàng hiệu là 2, 4, 8, 16.
Câu 9 (mức vừa)
Điền số tiếp theo: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, …
Gợi ý: Tách thành các số ở vị trí lẻ và vị trí chẵn.
Câu 10 (mức vừa)
Điền số tiếp theo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Gợi ý: Những số này chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
Mức khó: chữ số, chữ viết và cách đọc
Năm dãy cuối không nằm trong phép tính thông thường. Quy luật ẩn trong chữ số của từng số, trong cách viết tên số bằng tiếng Việt, hay trong cách đọc to dãy số. Gặp dãy mà mọi phép tính đều thất bại, đó là lúc nghĩ tới loại này.
Câu 11 (mức khó)
Điền số tiếp theo: 1, 11, 21, 1211, 111221, …
Gợi ý: Đọc to số trước theo kiểu "có mấy chữ số gì".
Câu 12 (mức khó)
Điền số tiếp theo: 3, 7, 4, 9, 2, 1, 5, 6, …
Gợi ý: Viết tên các số bằng chữ tiếng Việt rồi xem chúng xếp theo thứ tự gì.
Câu 13 (mức khó)
Điền số tiếp theo: 77, 49, 36, 18, …
Gợi ý: Mỗi số được tạo từ các chữ số của số liền trước.
Câu 14 (mức khó)
Điền số tiếp theo: 1, 3, 6, 10, 15, …
Gợi ý: Đếm số bi xếp thành hình tam giác: hàng 1 có 1 viên, hàng 2 có 2 viên…
Câu 15 (mức khó)
Điền số tiếp theo: 61, 52, 63, 94, 46, …
Gợi ý: Đọc ngược từng số.
Đáp án và giải thích 15 dãy
Mỗi đáp án kèm quy luật, và với vài dãy còn có cách nhìn thứ hai cho cùng kết quả.
Câu 1: 14
Mỗi số hơn số trước 3 đơn vị: 2 + 3 = 5, 5 + 3 = 8, 8 + 3 = 11, vậy 11 + 3 = 14. Dãy có hiệu không đổi gọi là cấp số cộng.
Câu 2: 48
Mỗi số gấp đôi số trước. Hàng hiệu là 3, 6, 12, chính là dãy ban đầu, dấu hiệu của phép nhân đôi. Dãy có tỉ số không đổi gọi là cấp số nhân.
Câu 3: 36
Các số là bình phương: 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5, nên số tiếp theo là 6 × 6 = 36. Hàng hiệu là 3, 5, 7, 9, các số lẻ liên tiếp, cũng cho ra 25 + 11 = 36.
Câu 4: 6
Lần lượt trừ 2, trừ 3, trừ 4, nên lần tiếp theo trừ 5: 11 − 5 = 6.
Câu 5: 13
Mỗi số bằng tổng hai số liền trước: 5 + 8 = 13. Đây là dãy Fibonacci, mang tên nhà toán học Leonardo xứ Pisa, người đưa nó vào cuốn Liber Abaci năm 1202 qua bài toán thỏ sinh sản.
Câu 6: 42
Hàng hiệu tăng đều 2 nên số tiếp theo là 30 + 12 = 42. Cách nhìn khác: các số là 1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, 4 × 5, 5 × 6, nên tiếp theo là 6 × 7 = 42.
Câu 7: 720
Mỗi số bằng số trước nhân với số thứ tự tăng dần: nhân 2, nhân 3, nhân 4, nhân 5, nên tiếp theo nhân 6: 120 × 6 = 720. Đây là dãy giai thừa: 720 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6.
Câu 8: 65
Hàng hiệu nhân đôi mỗi lần nên tiếp theo là 33 + 32 = 65. Cách nhìn khác: mỗi số bằng số trước nhân 2 rồi trừ 1 (33 × 2 − 1 = 65).
Câu 9: 7
Vị trí lẻ là 1, 3, 5, 7 (tăng 2), vị trí chẵn là 10, 9, 8 (giảm 1). Số tiếp theo nằm ở vị trí chẵn nên là 7. Hai dãy con chạm nhau đúng ở số 7 là một chi tiết vui, nhiều người tưởng đề in lặp.
Câu 10: 17
Đây là dãy số nguyên tố. Sau 13, số 14, 15, 16 đều chia hết cho số khác, số 17 là số nguyên tố tiếp theo. Dãy này không có công thức đơn giản nào sinh ra, nên chỉ nhận ra được nếu đã biết họ số đặc biệt này.
Câu 11: 312211
- Số 1 đọc là "một số 1", viết thành 11.
- Số 11 đọc là "hai số 1", viết thành 21. Số 21 đọc là "một số 2, một số 1", viết thành 1211.
- Số 1211 thành 111221 ("một số 1, một số 2, hai số 1").
- Số 111221 đọc là "ba số 1, hai số 2, một số 1", viết thành 312211. Dãy này gọi là dãy đọc và nói, được nhà toán học John Conway nghiên cứu kỹ.
Câu 12: 8
Viết thành chữ: ba, bảy, bốn, chín, hai, một, năm, sáu. Đây là thứ tự chữ cái tiếng Việt (b, c, h, m, n, s, t; trong nhóm chữ b thì "ba" trước "bảy" vì ngắn hơn, "bảy" trước "bốn" vì chữ a đứng trước chữ ô). Tên số còn lại xếp tiếp theo là "tám", tức số 8.
Câu 13: 8
Nhân các chữ số của số trước: 7 × 7 = 49, 4 × 9 = 36, 3 × 6 = 18, nên tiếp theo là 1 × 8 = 8. Dãy dừng ở đây vì 8 chỉ có một chữ số.
Câu 14: 21
Hàng hiệu là 2, 3, 4, 5 nên tiếp theo cộng 6: 15 + 6 = 21. Đây là các số tam giác: số bi xếp thành tam giác có 1, 2, 3… hàng. Câu này cùng họ với bài đếm bắt tay, vì số cái bắt tay của 7 người cũng là 21.
Câu 15: 18
Đọc ngược: 16, 25, 36, 49, 64, chính là bình phương của 4, 5, 6, 7, 8. Số tiếp theo là 9 × 9 = 81, viết ngược thành 18. Dãy này khó vì mọi phép thử hiệu và tỉ số đều cho kết quả lộn xộn.
Năm bước tìm quy luật một dãy số lạ
Gặp một dãy chưa từng thấy, thử lần lượt theo thứ tự sau. Phần lớn câu đố dãy số trong sách và trên mạng được giải ở bước một đến bước ba.
- Tính hàng hiệu. Viết hiệu giữa từng cặp số liền nhau. Nếu hiệu không đổi, đó là cấp số cộng. Nếu hiệu tăng đều, tính tiếp hiệu của hàng hiệu (hiệu bậc hai); hiệu bậc hai không đổi thì số hạng có dạng bình phương hoặc tích hai số liền nhau.
- Tính tỉ số. Nếu các số tăng rất nhanh, chia số sau cho số trước. Tỉ số không đổi là cấp số nhân; tỉ số tăng 2, 3, 4… là giai thừa.
- So với các họ số quen. Bình phương (1, 4, 9…), lập phương (1, 8, 27…), số nguyên tố (2, 3, 5, 7…), số tam giác (1, 3, 6, 10…), Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5…). Thuộc vài họ này giúp nhận ra dãy ngay.
- Tách dãy. Nếu dãy lên xuống thất thường, thử tách số ở vị trí lẻ và vị trí chẵn thành hai dãy riêng.
- Nhìn vào chữ số và chữ viết. Khi mọi phép tính đều thất bại, xét tổng hoặc tích các chữ số, đọc ngược, đọc to, hoặc viết tên số bằng chữ.
Sau khi tìm ra quy luật, luôn kiểm lại với mọi số đã cho, không chỉ hai ba số đầu. Một quy luật khớp với ba số đầu mà lệch ở số thứ tư là quy luật sai.
Một dãy có thể có nhiều đáp án: vì sao câu đố vẫn có lý
Người học toán sẽ nhận ra rằng với bất kỳ dãy hữu hạn nào, luôn tìm được một công thức đa thức cho ra số tiếp theo tuỳ ý. Ví dụ dãy 1, 2, 4, 8, 16 thường được nối tiếp bằng 32 (nhân đôi), nhưng có một bài toán hình học nổi tiếng cho đúng năm số ấy rồi tiếp theo là 31: đặt các điểm trên đường tròn, nối mọi cặp điểm bằng dây cung và đếm số miền tối đa tạo ra. Điều này có thật và đáng biết, nhất là khi gặp những bài kiểm tra tuyển dụng hỏi kiểu "chỉ có một đáp án đúng".
Vậy tại sao câu đố dãy số vẫn chấp nhận được? Vì nó ngầm hỏi quy luật đơn giản nhất, theo tinh thần "lời giải ngắn gọn nhất thường đáng tin nhất". Một quy luật mô tả được bằng một câu ngắn, như "mỗi số gấp đôi số trước", được ưu tiên hơn một công thức dài dòng chỉ để khớp số. Khi đố trẻ, nếu con đưa ra đáp án khác kèm lập luận hợp lý, nên công nhận và khen, vì đó chính là tư duy toán học thật.
Ngược lại, người soạn đề cần tránh những dãy có hai quy luật đơn giản ngang nhau mà cho ra số khác nhau. Trước khi đố, thử tự hỏi "có cách giải thích ngắn nào khác không"; nếu có, thêm một số vào dãy để loại cách đó.
Câu hỏi thường gặp
Câu đố dãy số có giúp tăng chỉ số IQ không?
Không có bằng chứng rằng giải câu đố dãy số làm tăng trí thông minh nói chung. Người luyện nhiều sẽ giỏi dạng câu này hơn, giống như luyện bất kỳ kỹ năng nào. Giá trị của nó nằm ở việc rèn thói quen quan sát, thử giả thuyết và kiểm lại, chứ không phải ở con số đo lường nào.
Dãy Fibonacci có thật sự xuất hiện trong tự nhiên không?
Có ở một số chỗ được quan sát kỹ, như số vòng xoắn của hạt hướng dương hay vảy quả thông thường là hai số liên tiếp trong dãy. Tuy vậy, nhiều tuyên bố phổ biến như mọi thứ đẹp đều theo tỉ lệ vàng là thổi phồng. Nên phân biệt các quan sát thực vật có cơ sở với những lời truyền miệng.
Làm sao tự soạn một câu đố dãy số hay?
Chọn một quy luật nói được bằng một câu, viết ra năm sáu số đầu, rồi thử giải như người lạ: có quy luật nào khác đơn giản tương đương mà cho số tiếp theo khác không. Nếu có thì thêm số hoặc đổi quy luật. Dãy hay là dãy có một khoảnh khắc "à" khi tìm ra, không phải dãy rối.
Học sinh lớp mấy thì làm được câu đố dãy số?
Dãy cộng trừ đều có thể đố từ lớp 2, lớp 3. Dãy bình phương, Fibonacci và tách hai dãy hợp với học sinh lớp 4, lớp 5 trở lên. Dãy đọc và nói hay dãy tên số bằng chữ thì người lớn cũng thấy khó, nên dùng cho các buổi đố vui gia đình.
Có phải mọi dãy số đều có quy luật không?
Không. Dãy kết quả tung xúc xắc hay dãy chữ số của số pi, theo những gì đã biết, không có quy luật đơn giản nào cho phép đoán chữ số tiếp theo nếu không tính toán. Câu đố dãy số chỉ dùng những dãy được sinh ra bằng một quy tắc rõ ràng.