Câu đố đếm hình hỏi một hình vẽ có bao nhiêu hình vuông, tam giác hay chữ nhật, kể cả những hình lớn ghép từ nhiều hình nhỏ. Câu trả lời đầu tiên gần như luôn thiếu, vì mắt chỉ thấy các ô nhỏ nhất. Cách đếm không sót là đếm theo từng kích cỡ, từ nhỏ tới lớn, rồi cộng lại; với các hình có quy luật, còn có công thức đếm nhanh.
Vì bài viết bằng chữ, mỗi câu đố mô tả hình rõ ràng để người đọc tự vẽ ra giấy. Nên chuẩn bị bút chì và thước kẻ. Mười hai câu chia ba mức, có gợi ý; lời giải ở cuối liệt kê số hình theo từng kích cỡ để người đọc tự đối chiếu với hình mình vẽ.
Mức dễ: lưới nhỏ, hình chữ thập và đoạn thẳng
Bốn câu đầu tập thói quen quan trọng nhất của việc đếm hình: không quên những hình ghép từ nhiều ô, và không đếm một hình hai lần.
Câu 1 (mức dễ)
Vẽ một hình vuông lớn, chia thành 4 ô vuông nhỏ bằng nhau (2 hàng, 2 cột, như ô cửa sổ bốn cánh). Có tất cả bao nhiêu hình vuông?
Gợi ý: Hình vuông lớn bên ngoài có tính không?
Câu 2 (mức dễ)
Xếp 5 ô vuông bằng nhau thành hình chữ thập: một ô ở giữa, bốn ô dính vào bốn cạnh của ô giữa. Có bao nhiêu hình vuông?
Gợi ý: Có nhóm ô nào ghép lại thành hình vuông lớn hơn không?
Câu 3 (mức dễ)
Vẽ một tam giác đều, nối ba trung điểm của ba cạnh lại với nhau. Có bao nhiêu tam giác?
Gợi ý: Tam giác ở giữa quay ngược đầu.
Câu 4 (mức dễ)
Trên một đoạn thẳng đánh dấu 5 điểm, kể cả hai đầu mút. Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu là hai trong năm điểm đó?
Gợi ý: Mỗi đoạn thẳng ứng với một cặp điểm.
Mức vừa: lưới 3 × 3, tam giác chia quạt và hình chữ nhật
Ở mức này số hình đủ lớn để đếm bằng mắt dễ sót. Nên đếm theo kích cỡ, ghi từng con số ra giấy, rồi mới cộng.
Câu 5 (mức vừa)
Vẽ một hình vuông chia thành 9 ô vuông nhỏ (3 hàng, 3 cột, như bàn chơi ca rô ba ô). Có bao nhiêu hình vuông?
Gợi ý: Đếm riêng hình vuông cỡ 1 ô, cỡ 2 × 2 ô và cỡ 3 × 3 ô.
Câu 6 (mức vừa)
Vẽ một tam giác. Từ đỉnh trên cùng kẻ thêm 3 đoạn thẳng xuống cạnh đáy, chia tam giác thành 4 tam giác nhỏ kiểu nan quạt. Có bao nhiêu tam giác?
Gợi ý: Tính cả hai cạnh bên, từ đỉnh có tất cả mấy đường đi xuống đáy? Mỗi tam giác ứng với một cặp đường như thế.
Câu 7 (mức vừa)
Vẫn hình nan quạt ở câu trước, kẻ thêm một đoạn thẳng nằm ngang song song với đáy, cắt qua cả 5 đường xuất phát từ đỉnh. Bây giờ có bao nhiêu tam giác?
Gợi ý: Đoạn ngang mới đóng vai trò như một cạnh đáy thứ hai.
Câu 8 (mức vừa)
Trở lại hình vuông chia 4 ô (2 × 2) ở câu 1. Có bao nhiêu hình chữ nhật, tính cả hình vuông (vì hình vuông cũng là hình chữ nhật)?
Gợi ý: Một hình chữ nhật được xác định bởi hai đường kẻ ngang và hai đường kẻ dọc.
Mức khó: bàn cờ vua, tam giác chia chín, ngôi sao và chiếc bánh
Bốn câu cuối cần cách đếm có hệ thống hoặc một công thức. Đếm bằng mắt hầu như chắc chắn sai, nên đây là lúc dùng các quy tắc vừa học ở mức vừa.
Câu 9 (mức khó)
Bàn cờ vua có 8 × 8 = 64 ô vuông nhỏ. Tính cả các hình vuông lớn ghép từ nhiều ô, bàn cờ có tất cả bao nhiêu hình vuông?
Gợi ý: Đếm số vị trí đặt được một khung vuông cỡ 1, cỡ 2… cỡ 8.
Câu 10 (mức khó)
Vẽ một tam giác đều, chia mỗi cạnh thành 3 phần bằng nhau rồi kẻ các đường song song với các cạnh, được một lưới 9 tam giác đều nhỏ. Có bao nhiêu tam giác đều?
Gợi ý: Đếm riêng tam giác "đứng" (đỉnh hướng lên) và tam giác "lộn ngược", theo từng kích cỡ.
Câu 11 (mức khó)
Vẽ ngôi sao năm cánh bằng một nét liền, không vẽ đường viền ngũ giác bao ngoài. Trong hình có bao nhiêu tam giác?
Gợi ý: Ngoài 5 cánh nhọn, còn những tam giác lớn hơn có hai đỉnh là hai đầu cánh.
Câu 12 (mức khó)
Cắt một chiếc bánh pizza tròn bằng 4 nhát dao thẳng (cắt từ trên xuống, không xếp chồng các miếng). Tối đa được bao nhiêu miếng?
Gợi ý: Nhát cắt thứ n nên cắt qua tất cả các nhát trước đó, tại những điểm khác nhau.
Lời giải chi tiết theo từng kích cỡ
Lời giải tách số hình theo kích cỡ để tiện đối chiếu. Nếu đếm ra số khác, hãy xem mình thiếu hoặc thừa ở kích cỡ nào.
Câu 1: 5 hình vuông
Có 4 ô vuông nhỏ và 1 hình vuông lớn bao ngoài, tổng 5. Hình chữ nhật gồm 2 ô liền nhau không phải hình vuông nên không tính ở câu này.
Câu 2: 5 hình vuông
Chỉ có 5 ô vuông nhỏ. Muốn có hình vuông 2 × 2 thì cần 4 ô xếp thành khối vuông, nhưng hình chữ thập không có chỗ nào như vậy (các góc bị khuyết). Câu này dạy điều ngược lại với câu 1: không phải cứ nhiều ô là có hình lớn.
Câu 3: 5 tam giác
Nối ba trung điểm chia tam giác lớn thành 4 tam giác nhỏ: 3 tam giác ở ba góc và 1 tam giác lộn ngược ở giữa. Cộng thêm tam giác lớn bao ngoài là 5. Người đếm vội thường quên tam giác lộn ngược hoặc tam giác lớn.
Câu 4: 10 đoạn thẳng
Mỗi cặp điểm cho một đoạn. Từ điểm thứ nhất có 4 đoạn đi tới các điểm còn lại, điểm thứ hai thêm 3 đoạn mới, điểm thứ ba thêm 2, điểm thứ tư thêm 1: 4 + 3 + 2 + 1 = 10. Cách đếm này giống hệt bài đếm số cái bắt tay.
Câu 5: 14 hình vuông
- Cỡ 1 ô: 9 hình.
- Cỡ 2 × 2 ô: một khung 2 × 2 trượt được 2 vị trí theo chiều ngang và 2 vị trí theo chiều dọc, tức 2 × 2 = 4 hình.
- Cỡ 3 × 3 ô: 1 hình (hình vuông lớn).
- Tổng: 9 + 4 + 1 = 14.
Câu 6: 10 tam giác
- Từ đỉnh có 5 đường xuống đáy: 2 cạnh bên và 3 đoạn mới kẻ.
- Hai đường bất kỳ trong năm đường, cùng với cạnh đáy, tạo thành một tam giác.
- Số cặp đường: 4 + 3 + 2 + 1 = 10. Đếm theo kích cỡ cũng ra vậy: 4 tam giác gồm 1 phần, 3 tam giác gồm 2 phần, 2 tam giác gồm 3 phần, 1 tam giác gồm 4 phần.
Câu 7: 20 tam giác
Mỗi cặp đường từ đỉnh tạo một tam giác với cạnh đáy cũ, và thêm một tam giác nhỏ hơn với đoạn ngang mới. Có 10 cặp đường, mỗi cặp cho 2 tam giác, tổng 20. Phần hình thang nằm giữa đoạn ngang và đáy không tạo thêm tam giác nào vì nó không có đỉnh nhọn.
Câu 8: 9 hình chữ nhật
- Hình có 3 đường kẻ ngang (trên, giữa, dưới) và 3 đường kẻ dọc.
- Chọn 2 trong 3 đường ngang có 3 cách; chọn 2 trong 3 đường dọc cũng 3 cách.
- Số hình chữ nhật: 3 × 3 = 9. Đếm tay: 4 ô nhỏ, 2 hình nằm ngang gồm 2 ô, 2 hình đứng gồm 2 ô, 1 hình lớn: 4 + 2 + 2 + 1 = 9.
Câu 9: 204 hình vuông
- Khung cỡ 1 × 1: 8 × 8 = 64 vị trí.
- Khung cỡ 2 × 2 trượt được 7 vị trí mỗi chiều: 7 × 7 = 49. Cỡ 3 × 3: 6 × 6 = 36. Cỡ 4 × 4: 25. Cỡ 5 × 5: 16. Cỡ 6 × 6: 9. Cỡ 7 × 7: 4. Cỡ 8 × 8: 1.
- Tổng: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204.
- Nếu hỏi số hình chữ nhật (tính cả hình vuông) trên bàn cờ: có 9 đường ngang và 9 đường dọc, chọn 2 trong 9 có 36 cách, nên có 36 × 36 = 1.296 hình chữ nhật.
Câu 10: 13 tam giác
- Tam giác nhỏ nhất (cạnh 1 phần): 9 cái, gồm 6 cái đứng và 3 cái lộn ngược.
- Tam giác cạnh 2 phần: 3 cái, đều là tam giác đứng (không có chỗ cho tam giác lộn ngược cỡ này).
- Tam giác cạnh 3 phần: 1 cái, chính là tam giác lớn.
- Tổng: 9 + 3 + 1 = 13.
Câu 11: 10 tam giác
- Năm đường thẳng của ngôi sao cắt nhau tạo ra ngũ giác nhỏ ở giữa và 5 tam giác nhọn ở 5 cánh: đã có 5 tam giác.
- Mỗi nét thẳng của ngôi sao nối hai đầu cánh. Lấy một nét như vậy làm cạnh đáy, đi theo hai nét còn lại xuất phát từ hai đầu cánh ấy, chúng cắt nhau tại một góc của ngũ giác nhỏ ở giữa, tạo thành một tam giác lớn có hai đỉnh là đầu cánh và một đỉnh nằm trong lòng ngôi sao. Ngôi sao có 5 nét nên có 5 tam giác như vậy.
- Tổng 5 + 5 = 10. Nếu vẽ thêm đường viền ngũ giác nối năm đầu cánh, số tam giác tăng lên rất nhiều; đó là một câu đố khác, khó hơn hẳn.
Câu 12: 11 miếng
- Không cắt: 1 miếng. Nhát thứ nhất: 2 miếng.
- Nhát thứ hai cắt qua nhát thứ nhất: thêm 2 miếng, thành 4.
- Nhát thứ ba cắt qua cả hai nhát trước tại hai điểm khác nhau: thêm 3 miếng, thành 7.
- Nhát thứ tư cắt qua ba nhát trước tại ba điểm khác nhau: thêm 4 miếng, thành 11. Công thức chung với n nhát: n × (n + 1) : 2 + 1. Lưu ý các miếng không bằng nhau; câu hỏi chỉ hỏi số miếng nhiều nhất.
Ba quy tắc đếm hình không bao giờ sót
Quy tắc một: đếm theo kích cỡ. Thay vì nhìn cả hình và đếm lung tung, chia các hình cần đếm thành nhóm theo kích cỡ (1 ô, 2 ô, 3 ô…) và đếm từng nhóm. Với lưới vuông n × n, số hình vuông cỡ k là (n − k + 1) bình phương, nên tổng là 1² + 2² + … + n². Với bàn cờ vua, n bằng 8, ra 204.
Quy tắc hai: đếm theo đường kẻ. Nhiều hình được xác định bởi các đường kẻ chứ không phải các ô. Hình chữ nhật trong lưới được xác định bởi hai đường ngang và hai đường dọc; tam giác nan quạt được xác định bởi hai đường xuất phát từ đỉnh. Chuyển bài đếm hình thành bài đếm cặp đường thì công thức hiện ra ngay, và không lo đếm trùng.
Quy tắc ba: tách theo hướng. Với tam giác đều, đếm riêng tam giác đứng và tam giác lộn ngược. Tam giác lộn ngược hay bị quên, nhất là những cái cỡ lớn trong lưới dày. Với lưới tam giác cạnh 4 phần trở lên, mới bắt đầu xuất hiện tam giác lộn ngược cỡ 2, và đó là chỗ người đếm hay sai.
Dùng câu đố đếm hình với học sinh tiểu học
Đếm hình là dạng bài quen thuộc trong toán tiểu học, và cũng là dạng làm nhiều em sợ vì đếm mãi không khớp đáp án. Cách giúp con hiệu quả nhất là để con tô màu: mỗi kích cỡ một màu, tô xong hình nào thì đánh dấu. Khi con thấy tận mắt các hình vuông 2 × 2 chồng lên nhau, con sẽ hiểu vì sao lưới 3 × 3 có 14 chứ không phải 9 hay 10.
Với các con lớp 4, lớp 5, có thể giới thiệu cách đếm theo đường kẻ sau khi con đã đếm tay được vài hình. Đừng đưa công thức trước; để con tự phát hiện ra quy luật 1, 4, 9, 16 khi đếm các lưới cỡ 1, 2, 3, 4 sẽ đáng nhớ hơn nhiều. Câu hỏi tốt để gợi mở là: "nếu lưới to thêm một hàng, số hình vuông tăng thêm bao nhiêu?".
Ngoài giờ học, đếm hình là trò hay khi đi đường: đếm số hình chữ nhật trên một ô cửa sổ có song, số tam giác trên giàn mái tôn, số hình vuông trên nền gạch. Trẻ sẽ bắt đầu nhìn thế giới xung quanh như một kho câu đố, và đó là món quà lớn hơn bất kỳ đáp án nào.
Câu hỏi thường gặp
Có công thức tính số hình vuông trên lưới n × n không?
Có. Số hình vuông bằng tổng các bình phương từ 1 đến n: 1² + 2² + … + n², tính nhanh bằng n × (n + 1) × (2n + 1) : 6. Với n bằng 3 ra 14, với n bằng 4 ra 30, với n bằng 8 ra 204. Công thức chỉ áp dụng cho lưới vuông đầy đủ, không khuyết ô.
Vì sao hình vuông cũng được tính là hình chữ nhật?
Theo định nghĩa trong toán học, hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Hình vuông có bốn góc vuông nên là một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật. Khi đề hỏi số hình chữ nhật mà không nói "không kể hình vuông", ta tính cả hình vuông.
Làm sao kiểm tra mình đếm đúng khi không có đáp án?
Đếm hai lần bằng hai cách khác nhau, ví dụ một lần theo kích cỡ, một lần theo đường kẻ. Nếu hai cách cho cùng kết quả thì gần như chắc chắn đúng. Nếu khác nhau, liệt kê chi tiết theo từng kích cỡ để tìm chỗ lệch.
Câu đố ngôi sao năm cánh vì sao nhiều người đếm ra 5?
Vì mắt dễ thấy 5 cánh nhọn nhất. Năm tam giác lớn hơn, mỗi cái có hai đỉnh là hai đầu cánh và đỉnh thứ ba nằm trong lòng ngôi sao, đan chéo lên nhau nên khó nhận ra. Cách kiểm gọn: ngôi sao có 5 nét thẳng, ba nét bất kỳ tạo một tam giác, và chọn 3 trong 5 có đúng 10 cách.
Đếm hình có ích gì ngoài làm toán?
Đếm hình rèn khả năng quan sát có hệ thống và thói quen chia một việc lớn thành các phần nhỏ dễ kiểm. Đây cũng là bước làm quen với toán tổ hợp, ngành nghiên cứu cách đếm, vốn được dùng nhiều trong tin học, thống kê và xếp lịch.